JavaScript BigInt Elliptic Curve Cryptografie: Een Diepe Duik in Geavanceerde Bewerkingen

In een tijdperk dat wordt gedomineerd door digitale interactie, van gedecentraliseerde financiering (DeFi) tot end-to-end versleutelde berichten, is de kracht van onze cryptografische fundamenten nog nooit zo cruciaal geweest. Elliptic Curve Cryptografie (ECC) staat als een pijler van moderne public-key cryptografie en biedt robuuste beveiliging met kleinere sleutelgroottes in vergelijking met zijn voorgangers zoals RSA. Jarenlang was het uitvoeren van deze complexe wiskundige bewerkingen rechtstreeks in JavaScript een uitdaging, waarbij vaak gespecialiseerde bibliotheken nodig waren die de details op laag niveau abstraheerden of omgingen met de beperkingen van het standaard nummer type van JavaScript.

De introductie van het native BigInt type in JavaScript (ES2020) was een revolutionair moment. Het bevrijdde ontwikkelaars van de beperkingen van het 64-bits floating-point Number type, waardoor een mechanisme werd geboden voor het verwerken van willekeurig grote integers. Deze enkele functie ontsloot het potentieel voor performante, native en meer transparante cryptografische implementaties rechtstreeks binnen JavaScript omgevingen zoals browsers en Node.js.

Hoewel veel ontwikkelaars bekend zijn met de basisprincipes van ECC - het genereren van sleutelparen en het ondertekenen van berichten - ligt de ware kracht van deze technologie in de meer geavanceerde bewerkingen. Dit artikel gaat verder dan de basisprincipes om geavanceerde cryptografische protocollen en technieken te verkennen die nu toegankelijk zijn dankzij BigInt. We zullen ingaan op Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) voor veilige sleuteluitwisseling, public key recovery van signaturen en de krachtige, aggregate-friendly Schnorr signaturen.

De BigInt Revolutie in JavaScript Cryptografie

Voordat we ingaan op geavanceerde bewerkingen, is het essentieel om te begrijpen waarom BigInt zo'n game-changer is voor cryptografie in JavaScript.

Het Probleem met het `Number` Type

JavaScript's traditionele Number type is een IEEE 754 double-precision 64-bit floating-point nummer. Dit formaat is uitstekend geschikt voor een breed scala aan toepassingen, maar heeft een cruciale beperking voor cryptografie: het kan alleen integers veilig weergeven tot Number.MAX_SAFE_INTEGER, wat 2⁵³ - 1 is.

Cryptografische sleutels en tussenliggende waarden in ECC zijn aanzienlijk groter. De populaire secp256k1 curve die door Bitcoin en Ethereum wordt gebruikt, werkt bijvoorbeeld op een veld van priemgetallen die 256 bits lang zijn. Deze getallen zijn ordes van grootte groter dan wat het standaard Number type kan verwerken zonder precisie te verliezen. Proberen berekeningen uit te voeren met dergelijke getallen zou leiden tot onjuiste en onveilige resultaten.

Enter `BigInt`: Arbitrary-Precision Integers

BigInt lost dit probleem elegant op. Het is een afzonderlijk numeriek type dat een manier biedt om hele getallen van elke grootte weer te geven. U kunt een BigInt maken door `n` aan het einde van een integer literal toe te voegen of door de BigInt() constructor aan te roepen.

Voorbeeld:

const aLargeNumber = 9007199254740991n; // Veilig met BigInt
const anEvenLargerNumber = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663n; // Een 256-bit priemgetal

Met BigInt werken alle standaard rekenkundige operatoren (+, -, *, /, %, **) zoals verwacht op deze enorme integers. Dit vermogen is de basis waarop native JavaScript ECC implementaties zijn gebouwd, waardoor directe, nauwkeurige en veilige berekening van cryptografische algoritmen mogelijk is zonder te vertrouwen op externe WebAssembly modules of omslachtige multi-part number bibliotheken.

Een Opfrisser over Elliptic Curve Cryptografie Fundamentals

Om de geavanceerde bewerkingen te waarderen, laten we kort de kernconcepten van ECC herhalen.

In de kern is ECC gebaseerd op de algebraïsche structuur van elliptische curven over eindige velden. Deze curven worden gedefinieerd door de Weierstrass vergelijking:

y² = x³ + ax + b (mod p)

Waar `a` en `b` constanten zijn die de vorm van de curve definiëren, en `p` is een groot priemgetal dat het eindige veld definieert.

Kernconcepten

• Punt op de Curve: Een paar coördinaten (x, y) die voldoen aan de curve vergelijking. Al onze cryptografische bewerkingen zijn in wezen "point arithmetic".
• Base Point (G): Een publiek bekend, gestandaardiseerd startpunt op de curve.
• Private Key (d): Een zeer grote, cryptografisch veilige random integer. Dit is uw geheim. In de context van BigInt is `d` een grote BigInt.
• Public Key (Q): Een punt op de curve afgeleid van de private key en de base point door een bewerking genaamd scalar multiplication: Q = d * G. Dit betekent het punt G `d` keer bij zichzelf optellen.

De beveiliging van ECC hangt af van het Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem (ECDLP). Het is computationeel eenvoudig om de public key `Q` te berekenen gegeven de private key `d` en base point `G`. Het is echter computationeel onhaalbaar om de private key `d` te bepalen gegeven alleen de public key `Q` en de base point `G`.

Geavanceerde Bewerking 1: Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) Sleuteluitwisseling

Een van de krachtigste toepassingen van ECC is het tot stand brengen van een gedeeld geheim tussen twee partijen via een onveilig communicatiekanaal. Dit wordt bereikt met behulp van het Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) sleuteluitwisselingsprotocol.

Het Doel

Stel je voor dat twee individuen, Alice en Bob, veilig willen communiceren. Ze moeten een symmetrische encryptiesleutel overeenkomen die alleen zij kennen, maar hun enige communicatiemiddel is een openbaar kanaal dat een afluisteraar, Eve, kan volgen. ECDH stelt hen in staat om een identiek gedeeld geheim te berekenen zonder het ooit rechtstreeks te verzenden.

Het Protocol Stap-voor-Stap

1. Sleutelgeneratie:
   • Alice genereert haar private key, `d_A` (een grote random BigInt), en haar bijbehorende public key, `Q_A = d_A * G`.
   • Bob genereert zijn private key, `d_B` (een andere grote random BigInt), en zijn public key, `Q_B = d_B * G`.
2. Public Key Uitwisseling:
   • Alice stuurt haar public key, `Q_A`, naar Bob.
   • Bob stuurt zijn public key, `Q_B`, naar Alice.
   • Eve, de afluisteraar, kan zowel `Q_A` als `Q_B` zien, maar kan de private keys `d_A` of `d_B` niet afleiden vanwege het ECDLP.
3. Gedeelde Geheim Berekening:
   • Alice neemt Bob's public key `Q_B` en vermenigvuldigt deze met haar eigen private key `d_A` om een punt S te krijgen: S = d_A * Q_B.
   • Bob neemt Alice's public key `Q_A` en vermenigvuldigt deze met zijn eigen private key `d_B` om een punt S te krijgen: S = d_B * Q_A.

De Magie van Commutativiteit

Zowel Alice als Bob komen uit op exact hetzelfde geheime punt `S` op de curve. Dit komt omdat scalaire vermenigvuldiging associatief en commutatief is:

Alice's berekening: S = d_A * Q_B = d_A * (d_B * G)

Bob's berekening: S = d_B * Q_A = d_B * (d_A * G)

Aangezien d_A * d_B * G = d_B * d_A * G, berekenen ze allebei hetzelfde resultaat zonder ooit hun private keys te onthullen.

Van Gedeeld Punt naar Symmetrische Sleutel

Het resulterende gedeelde geheim `S` is een punt op de curve, geen symmetrische sleutel die geschikt is voor encryptie algoritmen zoals AES. Om een sleutel af te leiden, is het een standaard praktijk om de x-coördinaat van het punt `S` te nemen en deze door een Key Derivation Function (KDF) te leiden, zoals HKDF (HMAC-based Key Derivation Function). De KDF neemt het gedeelde geheim en optioneel een salt en andere info, en produceert een cryptografisch sterke sleutel van een gewenste lengte.

Alle onderliggende berekeningen - het genereren van private keys als random `BigInt`s en het uitvoeren van de scalaire vermenigvuldiging - zijn sterk afhankelijk van `BigInt` arithmetic.

Geavanceerde Bewerking 2: Public Key Recovery van Signaturen

In veel systemen, vooral blockchains, zijn efficiëntie en data minimalisatie van het grootste belang. Om een signatuur te verifiëren, heb je doorgaans het bericht, de signatuur zelf en de public key van de ondertekenaar nodig. Een slimme eigenschap van het Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) stelt je echter in staat om de public key rechtstreeks uit het bericht en de signatuur te herstellen. Dit betekent dat de public key niet hoeft te worden verzonden, wat waardevolle ruimte bespaart.

Hoe het Werkt (High-Level)

Een ECDSA signatuur bestaat uit twee componenten, (`r`, `s`).

• `r` is afgeleid van de x-coördinaat van een random punt `k * G`.
• `s` wordt berekend op basis van de message hash (`z`), de private key (`d`), en `r`. De formule is: `s = k_inverse * (z + r * d) mod n`, waarbij `n` de orde van de curve is.

Door algebraïsche manipulatie van de signatuur verificatie vergelijking is het mogelijk om een uitdrukking voor de public key `Q` af te leiden. Dit proces levert echter twee mogelijke geldige public keys op. Om deze dubbelzinnigheid op te lossen, wordt een klein stukje extra informatie, de recovery ID (vaak aangeduid als `v` of `recid`), opgenomen in de signatuur. Deze ID, meestal 0, 1, 2 of 3, specificeert welke van de mogelijke oplossingen de juiste is en of de y-coördinaat van de sleutel even of oneven is.

Waarom `BigInt` Essentieel is

De wiskundige bewerkingen die nodig zijn voor public key recovery zijn intensief en omvatten modulaire inversen, vermenigvuldiging en optelling van 256-bit getallen. Een belangrijke stap is bijvoorbeeld het berekenen van `(r_inverse * (s*k - z)) * G`. Deze bewerkingen zijn precies waarvoor `BigInt` is ontworpen. Zonder dit zou het onmogelijk zijn om deze berekeningen in native JavaScript uit te voeren zonder significant verlies van precisie en beveiliging.

Praktische Toepassing: Ethereum Transacties

Deze techniek wordt beroemd gebruikt in Ethereum. Een ondertekende transactie bevat niet direct het public address van de afzender. In plaats daarvan wordt het address (dat is afgeleid van de public key) hersteld van de `v`, `r`, en `s` componenten van de signatuur. Deze ontwerpkeuze bespaart 20 bytes op elke transactie, een aanzienlijke besparing op de schaal van een globale blockchain.

Geavanceerde Bewerking 3: Schnorr Signaturen en Aggregatie

Hoewel ECDSA wijdverspreid is, heeft het bepaalde nadelen, waaronder signature malleability en een gebrek aan aggregatie eigenschappen. Schnorr signaturen, een ander ECC-gebaseerd schema, bieden elegante oplossingen voor deze problemen en worden door veel cryptografen als superieur beschouwd.

Belangrijkste Voordelen van Schnorr Signaturen

• Bewijsbare Beveiliging: Ze hebben een meer eenvoudige en robuuste beveiliging bewijs in vergelijking met ECDSA.
• Non-Malleability: Het is niet mogelijk voor een derde partij om een geldige signatuur te wijzigen in een andere geldige signatuur voor hetzelfde bericht en dezelfde sleutel.
• Lineariteit (De Superkracht): Dit is het belangrijkste voordeel. Schnorr signaturen zijn lineair, wat krachtige aggregatie technieken mogelijk maakt.

Signature Aggregatie Uitgelegd

De lineariteit eigenschap betekent dat meerdere signaturen van meerdere ondertekenaars kunnen worden gecombineerd tot een enkele, compacte signatuur. Dit is een game-changer voor multi-signature (multisig) schema's.

Overweeg een scenario waarin een transactie signaturen vereist van 3 van de 5 deelnemers. Met ECDSA zou je alle drie de individuele signaturen op de blockchain moeten opnemen, wat aanzienlijke ruimte in beslag neemt.

Met Schnorr signaturen is het proces veel efficiënter:

1. Sleutel Aggregatie: De 3 deelnemers kunnen hun individuele public keys (`Q1`, `Q2`, `Q3`) combineren om een enkele aggregate public key (`Q_agg`) te creëren.
2. Signature Aggregatie: Via een collaboratief protocol zoals MuSig2 kunnen de deelnemers een enkele aggregate signatuur (`S_agg`) creëren die geldig is voor de aggregate public key `Q_agg`.

Het resultaat is een transactie die er aan de buitenkant identiek uitziet als een standaard single-signer transactie. Het heeft één public key en één signatuur. Dit verbetert de efficiëntie, schaalbaarheid en privacy aanzienlijk, omdat complexe multisig setups niet te onderscheiden zijn van eenvoudige.

`BigInt`'s Rol

De magie van aggregatie is geworteld in eenvoudige elliptic curve puntoptelling en scalaire arithmetic. Het creëren van de aggregate key omvat `Q_agg = Q1 + Q2 + Q3`, en het creëren van de aggregate signatuur omvat het optellen van de individuele signatuur componenten modulo de curve order. Al deze bewerkingen - die de basis vormen van protocollen zoals MuSig2 - worden uitgevoerd op grote integers en curve coördinaten, waardoor `BigInt` een onmisbaar hulpmiddel is voor het implementeren van Schnorr signaturen en aggregatie schema's in JavaScript.

Implementatie Overwegingen en Beveiliging Best Practices

Hoewel `BigInt` ons in staat stelt om deze geavanceerde bewerkingen te begrijpen en te implementeren, is het bouwen van production-grade cryptografie een riskante taak. Hier zijn enkele kritische overwegingen.

1. DO NOT Roll Your Own Crypto for Production

Dit artikel is bedoeld om te informeren en de onderliggende mechanismen te illustreren. U moet nooit deze cryptografische primitieven helemaal opnieuw implementeren voor een productie toepassing. Gebruik goed gecontroleerde, geauditeerde en peer-reviewed bibliotheken zoals `noble-curves`. Deze bibliotheken zijn speciaal gebouwd door experts en houden rekening met tal van subtiele maar kritieke beveiligingsproblemen.

2. Constant-Time Operations en Side-Channel Attacks

Een van de gevaarlijkste valkuilen is de side-channel attack. Een aanvaller kan niet-functionele aspecten van een systeem analyseren - zoals stroomverbruik of de exacte tijd die een bewerking duurt - om informatie over geheime sleutels te lekken. Als een vermenigvuldiging met een '1' bit in de sleutel bijvoorbeeld iets langer duurt dan met een '0' bit, kan een aanvaller de sleutel reconstrueren door timing variaties te observeren.

Standaard `BigInt` bewerkingen in JavaScript zijn niet constant-time. Hun uitvoeringstijd kan afhangen van de waarde van de operanden. Professionele cryptografische bibliotheken gebruiken zeer gespecialiseerde algoritmen om ervoor te zorgen dat alle bewerkingen met private keys een constante hoeveelheid tijd in beslag nemen, ongeacht de waarde van de sleutel, waardoor deze bedreiging wordt beperkt.

3. Secure Random Number Generation

De beveiliging van elk cryptografisch systeem begint met de kwaliteit van de randomnes. Private keys moeten worden gegenereerd met behulp van een cryptografisch veilige pseudo-random number generator (CSPRNG). Gebruik in JavaScript omgevingen altijd de ingebouwde API's:

• Browser: crypto.getRandomValues()
• Node.js: crypto.randomBytes()

Gebruik nooit Math.random() voor cryptografische doeleinden, omdat het niet is ontworpen om onvoorspelbaar te zijn.

4. Domein Parameter en Public Key Validatie

Bij het ontvangen van een public key van een externe bron is het cruciaal om deze te valideren. Een aanvaller kan een kwaadaardig punt leveren dat niet daadwerkelijk op de opgegeven elliptische curve ligt, wat kan leiden tot aanvallen die uw private key onthullen tijdens ECDH sleuteluitwisseling (bijv. Invalid Curve Attacks). Gerenommeerde bibliotheken handelen deze validatie automatisch af.

Conclusie

De komst van `BigInt` heeft het landschap van cryptografie binnen het JavaScript ecosysteem fundamenteel veranderd. Het heeft ECC verplaatst van het rijk van ondoorzichtige, black-box bibliotheken naar iets dat native kan worden geïmplementeerd en begrepen, waardoor een nieuw niveau van transparantie en capaciteit wordt bevorderd.

We hebben onderzocht hoe deze enkele functie geavanceerde en krachtige cryptografische bewerkingen mogelijk maakt die centraal staan in moderne beveiligde systemen:

• ECDH Sleuteluitwisseling: De basis voor het tot stand brengen van veilige communicatiekanalen.
• Public Key Recovery: Een efficiëntie-verhogende techniek die cruciaal is voor schaalbare systemen zoals blockchains.
• Schnorr Signaturen: Een next-generation signatuur schema dat superieure efficiëntie, privacy en schaalbaarheid biedt door aggregatie.

Als ontwikkelaars en architecten is het begrijpen van deze geavanceerde concepten niet langer slechts een academische oefening. Ze worden vandaag de dag ingezet in globale systemen, van de Taproot upgrade in Bitcoin tot de veilige messaging protocollen die onze dagelijkse gesprekken beschermen. Hoewel de uiteindelijke implementatie altijd moet worden overgelaten aan geauditeerde, door experts beoordeelde bibliotheken, stelt een diep begrip van de mechanismen, mogelijk gemaakt door tools zoals `BigInt`, ons in staat om veiligere, efficiëntere en innovatievere toepassingen te bouwen voor een globaal publiek.